The First Isomorphism Theorem
給定一個 homomorphism $\phi$ 之後，他的 kernel $K$ 也會是 normal subgroup。拿這個 kernel 去做 quotient group 其實就是把母集合分割成許多互斥的 coset，而且這些 coset 自己還能形成群。
而如果是拿 kernel 做，那麼處在同一個 coset 的元素，通通會被原來的 homomorphism 打到同一個地方，一個 quotient group 就代表著一堆會被送到同一個值的元素：
這樣看起來，quotient group (裡面每個元素都是個集合) 中的元素，跟原先那個映射的值域，似乎存在著某種一對一的關係。而 first isomorphism theorem 就是要說：他們之間有雙射，而且這個雙射還是個 homomorphism。
定義：Natural Projection
「用一個元素造出他在 quotient group 的集合」的這個動作有時會稱作 narural projection：
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假定 $G$ 是一個群，$K \lhd G$。則下列的映射 $\pi$：
\[\boxed{\begin{align} \pi : G &\to G/K \newline g &\to gK \end{align}}\]稱為 natural projection。
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這個映射是 well-defined 的，因為若 $g_1, g_2$ 屬於同一個 coset，也就是說：
\[g_1 \in (g_2K) \cap (g_1 K)\]那麼依照 coset 的性質，兩個 coset 不是一樣，就是沒有交集。現在他們明顯有交集，所以必定兩個 coset 是一樣的。因此，造出來的會是同一個 coset。
性質：是 Surjective Homomorphism
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Lemma (Natural Projection 是 Surjective Homomorphism)
假定 $G$ 是一個群，$K \lhd G$。定義 natural projection $\pi$ 為：
\[\begin{align} \pi : G &\to G/K \newline g &\to gK \end{align}\]則 $\pi$ 是一個 ==surjective homomorphism==。
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==Surjective==：這根本由 $G/K$ 定義就可以直接得到。因為 $G/K$ 這個集合就是「所有 coset 的集合」，而這個映射就是拿所有的 $G$ 中元素去搭配 $K$ 造出所有可能的 coset，所以映成就是顯然。
==Homomorphism==：本質上還是出在 coset 的乘法定義。因為：
\[\begin{align} \pi(g_1g_2) &= (g_1g_2)H \newline &= (g_1H) \cdot (g_2 H) \newline &= \pi(g_1) \cdot \pi(g_2) \end{align}\]性質：Natural Projection 的 Kernel
「把元素送到其所屬 quotient group」這個函數，他的 kernel 就是 quotient group 定義中的那個 normal subgroup：
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Lemma (Natural Projection 是 Surjective Homomorphism)
假定 $G$ 是一個群，$K \lhd G$。則 natural projection $\pi$：
\[\begin{align} \pi : G &\to G/K \newline g &\to gK \end{align}\]有：
\[\boxed{\ker \pi = K}\]:::
這個其實滿顯然的。首先，所有 $K$ 中的元素，都會是 $\ker \pi$ 中的元素。因為 $K$ 是一個 $G$ 的子群，所以對於任意 $k \in K$，有：
\[k \in (kK \cap 1K)\]因此 $kK$ 與 $1K = K$ 就是兩個有交集的 coset。依照 coset 的性質，有：
\[(kK \cap 1K) \neq \phi \Rightarrow (kK) = (1K)\]但這也就是在說：
\[\phi(k) = kK = 1K\]而這邊的 $K$ 就是 quotient group 中的單位元。所以：
\[k \in \ker \pi\]因為對於任意 $k \in K$ 都對，所以：
\[K \subseteq \ker \pi\]接下來證明另外一個包含方向。因為 $K$ 是一個 normal subgroup，所以也是一個 subgroup，因此 $1$ 也在 $K$ 裡面。而現在想想 $\ker \pi$ 的定義：
\[\ker \pi = \{g \mid g K = K\}\]既然任意一個 $\ker \pi$ 中的原元素 $g$，都有 $gK = K$，而且 $1 \in K$，所以：
\[g \cdot 1 \in gK = K \Rightarrow g \in K\]既然任意 $\ker K$ 中的元素 $g$ 都滿足 $g \in K$，因此：
\[\ker \pi \subseteq K\]性質：Normal Subgroup 與 Kernel
前面已經提過：任意 homomorphism 的 kernel，都會是一個 normal subgrup。現在反過來問：對於任意一個 normal subgroup，是否都存在著以他為 kernel 的 homomorphism 呢？從前面兩個觀察中可以立刻知道：答案是肯定的：
:::danger 性質
假定 $G$ 是一個群。則 $H \leq G$。則「$H$ 為 normal subgroup」的充分必要條件是「存在以 $H$ 為 kernel 的 homomorphism」：
\[\begin{align} H &\lhd G \iff \newline &\exists \text{ homo } \phi.\ker \phi = H \end{align}\]:::
在看完前面兩個關於 natural projection 的敘述之後，這個定理幾乎成為顯然。
==$\Leftarrow$==：首先，任何 homomorphism 的 kernel 都一定是 normal subgroup。因為對於任意 $g \in G$ 及 $k \in \ker \phi$，都有：
\[\phi(gkg^{-1}) = \phi(g)\underbrace{\phi(k)}_{1}\phi(g)^{-1} = 1\]所以 $gkg^{-1} \in \ker \Phi$。
==$\Rightarrow$==：另外一方面，如果 $H$ 是個 normal subgroup，把 $\phi$ 取成 natural projection：
\[\phi = \pi\]再加上前 2 個敘述：$\pi$ 是 homomorphism、$\pi$ 的 kernel 是 $H$，就證明完了。
定理：The First Isomorphism Theorem
:::danger
Thm (The First Isomorphism Theorem)
假定 $G$ 是一個群，$\phi : G \to G’$ 是一個 homomorphism。則：
\[\boxed{\ker \phi \lhd G}\]且更進一步，若令 $K = \ker \phi$，並定義：
\[\boxed{\begin{align} \phi' : G/K &\to G' \newline gK &\to \phi(g) \end{align}}\]則 $\varphi$ 是個 well-defined 的 injective homomorphism。並且透過 $\varphi$ 可知：kernel 做出的 quotient group 跟值域同構：
\[\boxed{G/ \ker \phi \simeq \phi(G)}\]:::
其實課本在 first isomorphism theorem 的部分只有寫到最後面同構的部分，並沒有把 $\varphi$ 明確地指出來; 而上課則是沒把同構寫出來，直接列出 $\varphi$。雖然說證明完 $\varphi$ 是 injective 之後，可以觀察到他就是 $G/\ker \phi$ 跟 $\phi(G)$ 之間的 isomorphism：
\[\begin{align} \phi'(G/H) &= \{\phi'(gK) \mid g \in G\} \newline &= \{\phi(g) \mid g \in G\} \newline &= \phi(G) \end{align}\]所以自動是個 $G /\ker \phi$ 跟 $\phi(G)$ 間的 surjection，加上前面的 injective homomorphism，$\phi’$ 就自動是個 isomorphism 了。不過，同構的樣子畢竟看起來比較漂亮，所以就一起寫上來。
一個 homomorphism 的 kernel 是一個 normal subgroup 在更之前已經證明過了。
==well-defined==：是否 well-defined 的問題出自於：不同的 $g$ 之下，他們生出來的 $gK$ 可能相同。在這樣的狀況之下，這些表示法不同的 $gK$ 會被 $\phi’$ 送到 $G’$ 中的同一個值嗎？答案是會。這是因為假定：
\[g_2K = g_1K\]這也就是在說：$g_2 \in g_1 K$。也就是存在 $k_1 \in K$，使得：
\[g_2 = g_1k_1\]但把這個東西用 $\phi’$ 送過去
\[\begin{align} \phi'(g_2K) &=: \phi(g_2) \newline &= \phi(g_1k_1) \newline &= \phi(g_1)\cdot \phi(k) \newline &= \phi(g_1) \cdot 1 \end{align}\]因此，就算這個 coset 挑出來的「代表」不同，最終他們都還是會被送到一樣的地方。
==homomorphism==：一樣是因為有 coset 的乘法，讓兩個 coset 之間的乘法，變成代表那個 coset 的元素出來香橙就好：
\[\begin{align} \phi'(g_1H \cdot g_2H) &= \phi'(g_1g_2H) \newline &= g_1g_2 \newline &= \phi'(g_1H)\phi'(g_2H) \end{align}\]==Injective==：
假定：
\[\phi'(g_1H) = \phi'(g_2H)\]依照 $\phi’$ 的定義，這就是在說：
\[\phi(g_1) = \phi(g_2)\]依照 homomorphism 的性質，可知：
\[\phi(g_1)^{-1}\phi(g_2) = \phi(g_1^{-1}g_2) = 1\]但這樣一來，$g_1^{-1}g_2$ 就在 $\phi$ 的 kernel 裡面，也就是說 $g_1^{-1}g_2 \in K$。但這就表示：存在 $k \in K$，使得：
\[\begin{align} g_1^{-1}g_2 = k &\Rightarrow g_2= g_1 k \newline &\Rightarrow g_2 \in g_1K \end{align}\]最後，加上 coset 的性質，只要有交集，兩個 coset 就必定是一樣的集合，得證：
\[g_1H = g_2H\]觀察：怒空僅零
在討論完 kernel 之後，接下來就是大名鼎鼎的「怒空僅零」：
:::danger Corollary
$G, H$ 是兩個群，且 $\phi : G \to H$ 是一個 homomorphism。則：
\[\boxed{ \begin{align} \phi \mathbf{\ injective\ } \iff \ker \phi = \{1\} \end{align}}\]:::
這個線性代數出現過的定理，連證明方式都跟線性代數一樣。
==$\Rightarrow$==：首先，homomorphism 必定把單位元送到單位元。因此，在 $\phi$ injective 的狀況下，所以每個值域中的元素，都只有一個定義域的元素到得了，值域的單位元也不例外。因此，只有 $G$ 中的 $1$ 能送到 $H$ 中的 $1$，故 kernel 就只有 ${1}$。
==$\Leftarrow$==：另外一方面，在 $\ker \phi = {1}$ 的狀況下，假定存在 $x, y \in G$，使得：
\[\phi(x) = \phi(y)\]這也就是在說：
\[\begin{align} &\phi(xy^{-1}) = 1 \newline &\Rightarrow xy^{-1} \in \ker \phi = \{1\} \end{align}\]但 $\ker \phi$ 裡面根本只有 $1$ 這個元素，所以這也就是在說：
\[xy^{-1} = 1 \Rightarrow x = y\]這其實是隨機客教線性代數的用語，本來是在說「線性轉換 null space (怒空) 只有 (僅) 向量空間的單位元 (零) 的時候，會是個 injection」的定理。而這邊只是群的版本。所以就沿用了這個我覺得很舒適的詞彙。
