Diamond Isomorphism Theorem
Diamond Isomorphism Theorem 又叫 second isomorphism theorem，算是 isomorphism theorem 系列的第二個定理。之所以會稱作 Diamond，是因為他描述的同構關係就像一個鑽石嗎？。平行的邊所代表的 quotient group 之間，會有同構關係：
前置準備
Diamond isomorphism theorem 關注如 $HK$ 這種形式的集合之間的關係。其中，$HK$ 定義為：
定義：集合相乘
:::warning Def
假定 $H, K$ 是兩個集合。則定義：
\[\boxed{HK = \{hk \mid h \in H, k \in K\}}\]:::
這其實就只是寫起來方便。看起來有點像是找出一個集合的所有 coset。
性質：Lagrange 定理的應用
:::danger Prop 1
| 假定 $G$ 是一個群，$H \leq G$，$K \leq G$，且 $ | H | , | K | < \infty$。則： |
:::
這個定理意義上比較像是：
\[|HK/K| = |H / (H \cap K)|\]然後後面會提到：在夠好的狀況下，左右兩邊除了數目等，還有 Isomorphism：
\[HK/K \simeq H/(H\cap K)\]
為了方便，令：
\[M = H \cap K\]因為 $H, K$ 都是子群，所以 $(H \cap K)$ 也是一個子群。接著考慮集合：
\[HK/K = \{(hk)K \mid h \in H, k \in K\}\]這個集合是個 coset 的集合。但如果仔細觀察：如果 $k \in K$，那麼 $kK$ 這個 coset 跟 $K$ 根本就是同一個集合。所以上面這個集合可以簡化成：
\[HK/K = \{hK \mid h \in H\}\]接下來，如果可以證明：
\[|HK/K| = |H/M|\]| 那麼依照 Lagrange 定理，因為 $ | H/M | = | H | / | M | $，就有： |
就得證需要的敘述。那要怎麼證明這件事呢？最直接的方法就是造一個 bijection。考慮：
\[\begin{align} \phi : H/M &\to HK/K \newline \phi(hM) &= hK \end{align}\]首先，這是一個 well-defined 的映射。首先，如果選了不同的代表元素，比如存在 $h, h’ \in H$，使得：
\[hM = h'M\]這表示：
\[h^{-1}h' \in M = (H \cap K) \subseteq K\]因此：
\[hK = h'K\]而 injection 方面，假定：
\[hK = h'K\]這表示：
\[h^{-1}h' \in K\]但另外一方面，$h, h’ \in H$，而 $H$ 是一個子群。所以：
\[h^{-1}h' \in H \Rightarrow h^{-1}h' \in (H \cap K) = M\]由此得證：
\[hM = h'M\]最後，surjection 是顯然。因為 $H/M$ 中的 $h$ 是從 $H$ 中任取，所以映射所對應到的 $hK$ 中，$h$ 也是從所有的 $H$ 中選取，因此所有可能的 coset 都被打到。
性質：HK 是子群的充要條件
:::danger Prop 2
假定 $G$ 是一個群，且 $H, K \leq G$。則：
\[HK \leq G \iff HK = KH\]:::
==$\Rightarrow$==
首先可以觀察：
\[\begin{align} H &\subseteq HK \newline K &\subseteq HK \end{align}\]接著看另外一個集合 $KH$。對於任意 $KH$ 中的元素 $u$，都存在：
\[\begin{align} k &\in K \subseteq HK \newline h &\in H \subseteq HK \end{align}\]使得：
\[u = kh\]但既然 $k$ 與 $h$ 都是 $HK$ 中的元素，$HK$ 又是一個子群，所以 $kh$ 就要在 $HK$ 中，也就是：
\[u = kh \in HK\]因為對於任意一個 $KH$ 中的元素都對，因此 $KH$ 是 $HK$ 的子集合：
\[KH \subseteq HK\]另外一方面，同樣的論證，只是把 $HK$ 與 $KH$ 的位置交換，可以得到：
\[KH \supseteq HK\]由此得證 $KH = HK$
==$\Leftarrow$==：
因為是要證 $HK$ 是子群，所以就要任取 $g_1, g_2 \in HK$，然後用 subgroup criteria 驗看看是不是成立。因為 $g_1, g_2 \in HK$，所以假定：
\[\begin{align} g_1 &= k_1 h_1 \newline g_2 &= k_2 h_2 \end{align}\]其中，$k_1, k_2 \in K$，且 $h_1, h_2 \in H$。這時，考慮：
\[g_1g_2^{-1} = k_1h_1h_2^{-1}k_2^{-1}\]這時，如果想辦法把 $k_1$ 往左交換兩次，那麼這東西就會有 $h_1h_2^{-1}k_1k_2^{-1}$ 的樣子，然後再用 $K, H$ 與 $KH$ 都是群的性質就解決了。雖然說他不是 abelian，不能直接交換，但他有 $HK = KH$，所以每次替換的時候，都可以找到代替的元素。
比如說，因為
\[k_1 h_1 \in KH = HK\]既然 $k_1h_1$ 也在 $HK$ 中，這表示存在 $h_1’ \in H$, $k_1’ \in K$，使得：
\[\begin{align} h_1'k_1' = k_1h_1 \end{align}\]所以帶回：
\[\begin{align} g_1g_2^{-1} &= \underbrace{(k_1h_1)}_{代換}h_2^{-1}k_2^{-1} \newline &= (h_1'k_1')h_2^{-1}k_2^{-1} = h_1'(k_1'h_2^{-1})k_2^{-1} \end{align}\]對 $k_1’h_2^{-1}$ 再做一次，知道存在 $k_1’’ \in K$, $h_2’’^{-1} \in H$，使得：
\[k_1'h_2^{-1} = (h_2'')^{-1}k_1''\]所以：
\[\begin{align} g_1g_2^{-1} &= h_1'\underbrace{(k_1'h_2^{-1})}_{代換}k_2^{-1} \newline &= h_1'(h_2''^{-1} k_1'')k_2^{-1} = (h_1'h_2''^{-1})( k_1''k_2^{-1}) \in HK \end{align}\]由此得證是個子群。
性質：HK 是子群的充分條件
:::danger Prop 3
假定 $G$ 是一個群，$K \leq G$。若一個集合 $H$ normalizes $G$，則 $HK$ 是一個 $G$ 的子群。即：
\[H \leq N_G(K) \Rightarrow HK \leq G\]:::
因為 $H$ 可以 normalize $K$，也就是說對於任意 $h \in H$，有：
\[hKh^{-1} = K\]但這也就是在說：對於任意 $h \in H$，有：
\[hK = Kh\]既然對於任意 $h \in H$ 都對，所以：
\[HK = KH\]套用 prop 2 的條件，得證 $HK \leq G$。
定理：Diamond Isomorphic Theorem
:::danger Thm (Diamond Isomorphic Theorem)
假定 $G$ 是一個群，$H, K \leq G$。若：
\[\boxed{H \leq N_G(K)}\]則下列三個敘述成立：
++1. H, K 的交集是 H 的不變子群++
\[\boxed{(H \cap K) \lhd H}\]++2. K 是 HK 的不變子群++
\[\boxed{K \lhd HK}\]++3. 兩個不變子群生成的商群同構++
\[\boxed{H/(H \cap K) \simeq HK/K}\]:::
++證明：H, K 的交集是 H 的不變子群++
因為 $H, K$ 都是 $G$ 的子群，所以 $(H \cap K)$ 是個子群，只差證明他是 $H$ 的 normal subgroup 就可以了。而要證明這件事，就是要證明：對於任意 $h \in H$，有：
\[h(H \cap K)h^{-1} \subseteq (H \cap K)\]就可以了。而既然要證明是在 $H, K$ 的交集，只要證明這個集合既在 $H$ 中，也在 $K$ 中就可以了。
首先，這個集合在 $H$ 中是顯然。因為 $(H \cap K)$ 與 $h$ 都在 $H$ 中，所以：
\[\begin{align} (H &\cap K) \subseteq H \newline &\Rightarrow h(H \cap K)h^{-1} \subseteq H \end{align}\]接下來證明這個集合在 $K$ 中。首先，老樣子用 $(H\cap K) \subseteq K$ 這招，有：
\[h(H \cap K)h^{-1} \subseteq hKh^{-1}\]接接下來的關鍵在 $H \leq N_G(K)$，也就是 $H$ normalizes $K$。而 normalize 的意思是對於任意 $h \in H$，有：
\[hKh^{-1} = K\]但跟前面的結論比較，就會發現他在 $K$ 當中：
\[h(H \cap K)h^{-1} \subseteq hKh^{-1} = K\]++證明：K 是 HK 的不變子群++
第二個也滿顯然的，因為對於任意 $hk \in HK$，其中 $h \in H$, $k \in K$，把他帶進 normal subgroup 的性質檢驗看看：
\[(hk)K(hk)^{-1} = hkKk^{-1}h^{-1} \subseteq hKh^{-1}\]但因為 $H$ normalize $K$，所以對於任意 $h \in H$，有：
\[hKh^{-1} = K\]所以塞回上面的東西，得到：
\[(hk)K(hk)^{-1} \subseteq hKh^{-1} \subseteq K\]因此，所有 $HK$ 的元素都 normalize $K$。由此得證 $HK$ 是 $K$ 的 normalizer。
++證明：兩個不變子群各自的商群同構++
前面已經知道：
\[h(H\cap K) \to hK\]是一個 well-defined 的 bijection。接下來只要驗證他是 homomorphism，但這直接用 coset 間的運算就得到了。若假定：
\[\begin{align} h_1(H \cap K) \to (h_1K) \newline h_2(H \cap K) \to (h_2K) \end{align}\]則可觀察到：$(h_1h_1)(H \cap K)$ 送過去的結果，恰好是個字送過去的結果互相作用：
\[(h_1h_1)(H \cap K) \to (h_1h_2)K = (h_1K)(h_2K)\]由此得證。
