The Third Isomorphism Theorem
在 Lattice Isomorphism Theorem 中，可以看到很多本來在群中有的關係，在同時取 quotient group 之後，仍然會在取出來的 quotient group 之間保持。這時，突然有個大膽的想法：==quotient group 的關係在取 quotient group 之後，會不會維持？==
定理：The Third Isomorphism Theorem
這個定理想要說的是：在條件夠好的狀況下，「商群關係可被取商群保留」。不過這個定理的條件有點多。所以分開描述。
定理敘述
The Third Isomorphism Theorem 在 Dummit 一書中的描述第一眼看過去會有點難懂。不過它大致上想表達的是像下面這件事：
:::danger
Thm 假定 $H$ 是一個群，且假定 $K$ 是某個 $H_1, H_2$ 共有的 normal subgroup：
\[\begin{align} K &\lhd H_1 \newline K &\lhd H_2 \end{align}\]則 normal group 的關係，取商群後仍會保留：
\[H_1 \lhd H_2 \Rightarrow (H_2/K) \lhd (H_1/K)\]更進一步，在 $H_1 \lhd H_2$ 的狀況下，取商群也會保留原本的商群關係：
\[H_1/H_2 \simeq (H_1/K)/(H_2/K)\]:::
這整個脈絡看起來滿直覺的：看到「normal subgroup 會維持」，就會忍不住想要娶個 quotient group，於是就有另外一個「quotient group 的關係也會維持」的部分。此外，值得注意的是：normal subgroup 的部分其實可以強到充要條件：
\[H_1 \lhd H_2 \iff (H_2/K) \lhd (H_1/K)\]但這個是 Lattice Isomorphism Theorem 第二部分的內容。
上面的描述方式，就達成定理結果所需要的條件來說，其實有些「多餘的成分」。比如說下面這兩個條件：
\[\begin{align} K &\lhd H_1 \newline K &\lhd H_2 \end{align}\]在已知 $H_1 \lhd H_2$ 的狀況下，其實等價於：
\[\begin{align} K &\lhd H_1 \newline K &\leq H_2 \end{align}\]這是因為 $K \lhd H_1$，所以任何 $H_1$ 中的元素都可以 normalize $K$。但「$H_2 \lhd H_1$」，所以依照 $\lhd$ 的定義要有「$H_2 \leq H_2$」，而這也就表示「$H_2 \subseteq H_1$」，也就是 $H_2$ 被包在 $H_1$ 裡。所以，$H_2$ 中的元素當然也都可以 normalize $K$。
依照上面的描述，把這些條件的相依性稍微重新排列一下，就會變成在書中所看到的描述方式：
:::danger Thm (The Third Isomorphism Theorem)
假定 $H_1$ 是一個群，且 $K, H_2 \lhd H_1$。若 $K \leq H_2$，則原有的 $H_1 \lhd H_2$ 的關係可被取商群維持：
\[(H_2/K) \lhd (H_1/K)\]更進一步，取商群也會保留原本的商群關係：
\[H_1/H_2 \simeq (H_1/K)/(H_2/K)\]:::
這看起來瞬間短了很多。
這邊看到 $K \leq H_1$，對照回 Lattice Isomorphism Theorem 的描述，就會發現本質上還是在討論那些原來的群中，那些「夠格取商群」的子群們，以及他們的商群。
定理證明
上課是考慮這個映射：
\[\begin{align} H_1/H_2 &\to (H_1/K)/(H_2/K) \newline (x_1H_2) & \mapsto (x_1K) \cdot (H_2/K) \end{align}\]然後把他是 isomorphism 證明一次。不過課本的證明方式更簡單。課本是考慮：
\[\boxed{\begin{align} \psi : (H_1/K) &\to (H_1 / H_2) \newline (h_1K) & \to (h_1H_2) \end{align}}\]然後只要證明三件事：
- $\psi$ 是 well-defined
- $\psi$ 是 surjective homomorphism
- $\psi$ 的 kernel 是 $H_2/K$ \(\ker \psi = (H_2/K)\)
那麼這個定理就自動證明完了。因為：
-
homomorphism 的 kernel 必定是 normal subgroup，所以只要證明上面兩件事，就自動有：
\[\ker \psi = (H_2/K) \lhd (H_1/K)\]因此自動證明了 normal subgroup 的部分。
-
套用 first isomorphis theorem，「定義域除上 kernel 後，商空間跟值域同構」。而 $\psi$ 的定義域是 $(H_1/K)$，值域因為 surjective 所以就是 $(H_1 / H_2)$，如果 kernel 又是 $(H_2)/K$，那就有： \((H_1/K)/(H_2 K) \simeq (H_1/H_2)\)
==well-defined==：這個問題一樣出在「取了不同 $h_1$ 造出同樣的 coset 時，他們會被送到一樣的地方嗎？」所以就來檢驗看看。假定：
\[(h_1K) = (h_1'K)\]接著要問下面這件事會不會對：
\[(h_1 H_2) \overset{?}{=} (h_1'H_2)\]但這根本是顯然。因為 $K \leq H_2$。所以：
\[\begin{align} (h_1K) &\subseteq (h_1H_2) \newline (h_1'K) &\subseteq (h_1'H_2) \end{align}\]但 $(h_1K)$ 又跟 $(h_1’K)$ 一樣，所以這根本就是在說：
\[(h_1K) = (h_1'K) \subseteq (h_1H_2\cap h_1'H_2)\]既然兩個 coset 的交集非空，那麼他們就只能是同一個 coset：
\[(h_1H_2) = (h_1'H_2)\]==surjective homomorphism==：首先，surjective 是顯然。因為 $h_1$ 的範圍是所有 $H_1$ 中的元素，所以這所有的 $h_1$ 與 $H_2$ 所形成的 coset，就是 $H_1/H_2$ 的定義。因此這個映射 surjective。
而 homomorphism 的部分也很直接：這就是 coset 間的乘法。
\[\begin{align} \psi((uK)(vK)) &= \psi(uvK) \newline &= uv H_2 \newline &= (uH_2)(vH_2) \newline &= \psi(uK)\psi(vK) \end{align}\]因此是個 homomorphism。
==kernel==：直接由定義爆開
\[\begin{align} \ker \psi &= \{hK \mid h \in H_1, (hH_2) = H_2\} \newline &= \{hK \mid h \in H_1, h \in H_2\} \newline &= \{hK \mid h \in H_2\} = H_2/K \end{align}\]