Lattice Isomorphism Theorem (Part 1)
這邊要討論子群之間一起取 quotient group 後，他們的某些關係是否能維持。
取 quotient group 是個把群「濃縮」的過程，所以一些群之間的關係，在拿兩者共同的不變子群下去作 quotient group 之後，這個關係也會一併「繼承」給做出來的那兩個 quotient group。而有哪些關係會繼承？這就是 Lattice Isomorphism Theorem 要討論的事。
定理：Lattice Isomorphic Theorem (Part 1)
子群間要能夠「一起取 quotient group」，首先的前提是==這些群都要做得出 quotient group==，也就是要包含 normal subgroup; 除此之外，還要可以「==一起取==」，也就是說：這個 normal subgroup 大家都要有的。
所以，下面在給定一個 normal subgroup 之後，討論的範圍就縮限在那些「包含給定的 normal subgroup」的那些子群，或是說「做得出 quotient group 的那些子群」，並討論他們一起做 quotient group 後關係是否會有變化：
:::danger Thm (取 Quotient Group 保子群)
假定 $G$ 是一個群，$K \lhd G$。假定 $\mathcal H$ 為「$G$ 中所有包含 $K$ 的子群」，$\mathcal {\overline H}$ 為「所有 $G/K$ 中的子群」，即：
\[\begin{align} \mathcal H = \{H &\mid K \leq H \leq G\} \newline \overline{\mathcal H} = \{\overline H &\mid \overline H \leq G/K\} \end{align}\]則 $\mathcal H$ 與 $\overline{\mathcal H}$ 間存在雙射。而且這個雙射就是：
\[\begin{align} \psi : \mathcal H &\to \overline{\mathcal H} \newline H &\mapsto H/K \end{align}\]:::
這個定理想要表達的事情有點像是：
\[H \leq G \iff (H/K) \leq (G/K)\]但如同上面所說，在給定 $K$ 這個 normal subgroup 的狀況下，$H/K$ 並不總是個群。只有當 $K \lhd H$ 時，$H/K$ 才會是個群。所以只要求 $H \leq G$ 還太鬆，要把討論範圍縮限在那些滿足 $K \leq H \leq G$ 的 $H$ 才行。
這時可能會有一個問題：明明要「$K \lhd H$」的狀況下，$H/K$ 才是個群，為什麼這邊加上的條件卻是「$K \leq H$」？答案是：$K \lhd G$ 的狀況下，只要有「$K \leq H$」就自動有「$K \lhd H$」。
理由是：「$K \lhd G$」表示「$G$ 中的每個元素都能 normalize $K$」，但「$H$ 包含在 $G$ 裡面」，所以 $H$ 裡面的元素當然也都可以 normalize $K$。但驗證 $K \leq H$ 顯然比 $K \lhd H$ 還要方便一點。
而這個定理除了「子群關係取 quotient group 後會維持」，其實還更強：「每一個 $G/K$ 中的子群，都只能由 $G$ 中某個特定的『合格』子群造出來」。而這邊的「合格」是指前面 $K \lhd H$ 這件事 (或在這個狀況下等價地，$K \leq H$)。
證明是考慮那個「取 coset」的 mapping，是一個 surjective 的 homomorphism： \(\begin{align} \Phi : G &\to G/K \newline g &\mapsto gK \end{align}\)
這樣一來，原先的 $\psi$ 就可以改為：
\[\begin{align} \psi : \mathcal H &\to \overline{\mathcal H} \newline H &\mapsto \Phi(H) \end{align}\]==Surjection==：
要證明的目標是：每個 $\mathcal {\overline H} = G/K$ 中的 subgroup $\overline H$，都是某個「$G$ 中以 $K$ 為 normal subgroup 的子群」造出來的。也就是說：要證明存在 $K \leq H \leq G$，使得：
\[\Phi(H) = \overline{H}\]要證明 surjective 只要「找到」就可以了。至於找到的東西是不是唯一的那個，那是 injective 該煩惱的事。這邊只要找到一個就可以了。
而既然是找子群，而且已經知道 $\overline{H} = H/K$ 是個群，所以最直接的方法就是利用 homomorphism 「對應域子群的 preimage，必定會是個定義域中的群」，把它用 homomorphism 拉回 preimage。然後，然後就造出一個群了。
而這邊就有一個現成的 homomorphism，那就是 $\Phi$。前面討論 coset 時，已經證明了「取 coset」的這個動作是個 homomorphism。所以對任意 $\overline{H} \in G/K = \mathcal{\overline{H}}$，都有：
\[\Phi^{pre}(\overline{H}) \leq G\]更進一步，這個 preimage 還包含了 $K$。因為如果 $\overline H \leq G/K$，那麼 $G/K$ 這個 quotient group 的單位元 $(1) K$ 就必定會在 $\overline H$ 中。因此：
\[(1)K \in \overline{H} \Rightarrow K \subseteq \Phi^{pre}(\overline{H})\]所以得證這個 preimage 是一個包含 $K$ 的子群。
==Injection==：
如果已經知道 injection 的充要條件是「怒空僅零」的話，可以直接用這個條件證。不過上課是用左反來證明。
要證明 injection 可以用定義，或是直接暴力找左反。有左反的充要條件是 injective。而這邊的左反明顯第一個就想找 $\Phi^{pre}$。所以就暴力宣稱：
\[\begin{align} \psi' : \mathcal {\overline H} &\to H \newline \overline H &\to \Phi^{pre}(\overline H) \end{align}\]是個 well-defined 的函數，而且他是 $\Phi$ 的左反。well-defined 是因為：前面已經證明，對於任意 $\overline{H}$，$\Phi^{pre}(\overline{H})$ 都會是個包含 $K$ 的子群，所以必定是個 $\mathcal H$ 中的元素。
接下來驗證這個東西真的是個左反。這也就是要驗證：對於任意 $H \in \mathcal H$，有：
\[(\psi' \circ \psi)(H) = H\]或者說是要驗證：
\[\Phi^{pre}(\Phi(H)) = H\]這當中有一個包含關係是顯然：因為 $\Phi(H) \subseteq \Phi(H)$，所以很顯然 $H$ 自己要包在 $\Phi(H)$ 的 preimage 裡面。也就是：
\[H \subseteq \Phi^{pre}(\Phi(H))\]所以只剩下另外一個方向的包含關係要驗證。
對於任意能使 $\Phi(g) \in \Phi(H)$ 的 $g \in G$ (目標是： $g \in H$)。既然 $\Phi(g) \in \Phi(H)$，表示存在一個 $H$ 中的元素 $h$，使得 $\Phi(g)$ 與 $\Phi(h)$ 相等。即：
\[\begin{align} \exists h &\in H. \newline &\Phi(g) = \Phi(h) \in \Phi(H) \end{align}\]但這就表示：$h, g$ 做出來的 coset 是一樣的。因此：
\[(g)K = (h)K \Rightarrow (gh^{-1}) \in K\]而前提有提到：$H \in \mathcal {H}$ 依照定義是個包含 $K$ 的子群。因此：
\[gh^{-1} \in K \subseteq H\]現在既然有 $h \in H$，使用 coset 的定義可知：
\[gh^{-1} \subseteq H \Rightarrow g \in (h)H \subseteq H\]由此得證：任何能使 $\Phi(g) \in H/K$ 的 $g$，最終都有 $g \in H$。
